2nd order의 경우를 갖고 따져보자.
$$Ly = ay'' + by' + cy = 0, (a \neq 0, a, b, c \in \mathbb{R})$$
얘의 해가 $y = e^{rt}$의 꼴이라고 하면 방정식에 대입했을 때
$$ar^2e^{rt} + bre^{rt} + ce^{rt} = 0$$
$$(ar^2 + br + c)e^{rt} = 0$$
이 된다. 이걸 만족하는 $r$을 찾기 위해서는 $ar^2 + br + c = 0$을 풀면 된다. $e^{rt}$는 0이 될 수 없기 때문에...
아무튼 여기서 이 방정식 $ar^2 + br + c = 0$을 Characteristic Equation이라고 부르는 모양이다.
우리가 잘 아는 근의 공식을 이용해 $r$을 구할 수 있다.
$$r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
$\pm$ 기호가 들어있으니 보통 해는 두 개 나올 것이고 그러면 해 $r_1, r_2$를 형태에 넣고서 선형결합하면 방정식의 일반해는 $c_1e^{r_1t} + c_2e^{r_2t}$가 된다.
여기까진 좋은데, 두 $r_1$과 $r_2$이 복소근이거나 중근($r_1 = r_2$)인 경우도 있을 것이다. 이 때엔 생각 없이 우와 일반해다~ 하고 식에 넣으면 지수에 허수가 붙거나 두 해가 선형종속이 되어버리는 끔찍한 상황을 맞이할 것이다. 이 때엔 어떻게 해야 할 지 생각해보자.
복소근
Characteristic Equation의 해가 $r = \lambda \pm \mu i$라고 하자. 일단 원래 해가 $y = e^{rt}$ 꼴이라고 가정했으므로 대입을 해 보면 $y = e^{(\lambda \pm \mu i)t} = e^{\lambda t} \cdot e^{\pm \mu t i}$이다. 오일러의 공식 $e^{\theta i} = \cos \theta + i \sin \theta$에서 $e^{\lambda t} \cdot e^{\pm \mu t i} = e^{\lambda t}(\cos \pm\mu t + i \sin \pm\mu t) = e^{\lambda t}(\cos \mu t \pm i \sin \mu t)$라고 할 수 있고, 실수부 허수부 따로 정리하면 $e^{\lambda t}\cos \mu t \pm i e^{\lambda t} \sin\mu t$이다.
여기서 실수부 허수부(의 일부)를 문자로 치환해서 $y = e^{\lambda t}\cos \mu t \pm i e^{\lambda t} \sin\mu t = R \pm Ii$라고 하자. $R \pm Ii$는 처음 미방의 해이기 때문에 $L[R \pm Ii] = 0$이라고 할 수 있다. Linear DE니까 $L$도 선형 연산자가 되기 때문에 다 분해해서 $L[R] \pm iL[I] = 0$라고 할 수 있고, DE의 계수가 다 실수, $R, I$도 다 실수이기 때문에 $L[R], L[I]$도 실수이다. $L[R] \pm iL[I] = 0$이려면 $L[R] = \mp iL[I]$이거나 $L[R] = L[I] = 0$이면 되는데, 전자는 $L[R]$이 실수니 불가능하고, 후자의 경우만이 가능함을 알 수 있다. $L[R] = L[I] = 0$이다.
그러면 $L[R] = 0, L[I] = 0$, 그러니까 $R = e^{\lambda t}\cos \mu t$와 $I = e^{\lambda t} \sin\mu t$ 둘 다 미분방정식의 해가 된다는 것을 알 수 있다. 그러면 $c_1R + c_2I$가 일반해가 된다.
중근
Characteristic Equation의 $\Delta = b^2 - 4ac = 0$이 되었으므로 근의 공식에서 $\displaystyle r = \frac{-b}{2a}$임을 알 수 있다. 그러니까 DE의 해 하나는 구한 것이다. $y_1 = e^{rt} = e^{-bt / 2a}$가 한 해다. 일반해를 얻기 위해서는 $y_1$과 선형 독립인 다른 해 하나를 구해야 한다.
여기에서 어떤 시도를 해볼 수 있다. $t$에 대한 함수 $d(t)$가 있어서 $y_1$과 선형 독립인 다른 해 $y_2 = d(t)y_1$가 된다고 하자. 임의의 $t$에 대한 함수 $d(t)$에 대해 $d(t)y_1$은 $t$에 대한 모든 함수를 나타내기 때문에 나쁠 것 없는 시도다.
그래서 $y_2 = dy_1$을 미방에 대입해 볼 수 있다. 그러면
$$ay_2'' + by_2' + cy_2 = 0$$
$$a(dy_1)'' + b(dy_1)' + c(dy_1) = 0$$
$$a(d''y_1 + 2d'y_1' + dy_1'') + b(d'y_1 + dy_1') + c(dy_1) = 0$$
이다. 여기서 좌변을 $d$에 대해 정리하면
$$d''ay_1 + d'(2ay_1' + by_1) + d(y_1'' + by_1' + cy_1) = 0$$
을 얻는다. 여기서 $d$의 계수 $y_1'' + by_1' + cy_1 = Ly_1 = 0$이므로 쟤는 없애버리면
$$d''ay_1 + d'(2ay_1' + by_1) = 0$$
이 된다.
우리는 $y_1 = e^{-bt/2a}$임을 알고 있고, $y_1' = \displaystyle \frac{-b}{2a} e^{-bt/2a} = \frac{-b}{2a}y_1$이라는 것을 안다. 여기서 $d'(t)$의 계수인 $2ay_1' + by_1 = \displaystyle 2a \cdot \frac{-b}{2a}y_1 + by_1 = 0$이고, 따라서 얘도 없애버릴 수 있다. 그러면
$$d''ay_1 = 0$$
이 된다. 그러면 $d'' = 0$인 $dy_1$이 또 다른 해가 된다는 것인데... $\int 0 dt = C_1$, $\int C_1 dt= C_1t + C_2$니까 $d = C_1t + C_2$다. $y_2 = C_1ty_1 + C_2y_1$, 여기서 $y_1$과 종속인 항 떼고 상수 떼고 하면 $y_2 = ty_1$이라는 결론을 얻는다. 일반해는 $c_1y_1 + c_2y_2 = c_1y_1 + c_2ty_1$이 된다.
재미있는 것은 $dy_1 = y_2 = C_1ty_1 + C_2y_1$이 사실 일반해 꼴이었다는 것이다. 생각해보면 당연한데, $dy_1$은 $t$에 대한 모든 함수의 표현이기 때문에 저걸 만족하는 해를 찾았다는 것 자체가 미분방정식의 모든 해를 찾은 것이랑 같은 의미가 된다.
Reduction of Order
따지면 위에서 한 번 했던 거랑 비슷한데 좀 제대로 잡고 이야기를 하자면, DE
$$y'' + p(t)y' + q(t)y = 0$$
가 있을 때, 여기서 한 해 $y_1$을 안다고 하면 아까 했던 것처럼 $y_2 = dy_1$로 두고 대입을 해 볼 수 있다. 정리까지 한 결과는 다음과 같이 된다 (중간에 $d$ 항은 계수가 $Ly_1$이 되어서 날아가버렸다).
$$d''y_1 + d'(2y_1 + py_1) = 0$$
그런데 새롭게 만들어진 이 미방은 $d'$에 대한 1st linear DE다. 미분방정식의 차수가 하나 내려간 거다. 이걸 reduction of order 방법이라고 한댄다.