미분방정식및연습 시간에 2계동차선형미방의 해와 관련해서 어떤 해 여럿이 있으면 그 둘의 선형결합도 해가 된다는 것을 배웠다. 이걸 중첩 원리(Superposition Principle)랜다. 대충 $y$와 방정식 $y'' + p(t)y' + q(t)y = 0, t \in I$의 $y$랑 그 미분 항들을 매칭시키는 선형 연산자 $L$을 갖고 방정식의 두 해 $y_1, y_2$로 $L[c_1y_1+c_2y_2] = c_1L[y_1] + c_2L[y_2] = 0 + 0 = 0$해서 증명했다.
근데 심지어는 저 둘의 선형결합이 방정식의 모든 해를 표현할 수도 있댄다. 어떤 때에? Wronskian $W[y_1, y_2](t_0)$이 어떤 $t_0 \in I$에서 0이 아닐 때에!
론스키안은 $\displaystyle W[y_1, y_2](t) = \begin{vmatrix} y_1(t) & y_2(t) \\ y_1'(t) & y_2'(t) \end{vmatrix}$이다. 아무튼 증명해보면, $y'' + p(t)y' + q(t)y = 0, t \in I$의 어떤 해 $y$가 있다고 하자. 그리고 행렬 $\displaystyle A = \begin{pmatrix} y_1(t_0) & y_2(t_0) \\ y_1'(t_0) & y_2'(t_0) \end{pmatrix}$라고 두자. 이제 $\displaystyle \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} = A^{-1}\begin{pmatrix} y(t_0) \\ y'(t_0) \end{pmatrix}$을 만족하는 $c_1, c_2$를 두면 $\displaystyle A\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y(t_0) \\ y'(t_0) \end{pmatrix}$, $\begin{cases} c_1y_1(t_0) + c_2y_2(t_0) = y(t_0) \\ c_1y_1'(t_0) + c_2y_2'(t_0) = y'(t_0) \end{cases}$이 성립.
새로운 함수 $z = y - (c_1y_1 + c_2y_2)$로 정의하자. 여기서 $z(t_0)$은 0이다. 또 $z$는 해 셋의 선형결합임을 짚고 가자.
IVP $\begin{cases} y'' + p(t)y' + q(t)y = 0, t \in I \\ y(t_0) = 0, y'(t_0) = 0, t_0 \in I \end{cases}$는 $I$에서 유일해 $y = 0$을 갖는다는 것을 안다 (증명 없이 넘어갔었음). 헉! $z$가 해다. 그럼 $z(t)$는 모든 $t \in I$에서 0이고, $y = c_1y_1 + c_2y_2$도 모든 $t \in I$에서 성립한다. 와 끝~ 대단해요~
명제. $y_1, y_2$가 구간 $I$에서 선형종속이면 $W[y_1, y_2](t) = 0, \forall t \in I$다.
대우: $W[y_1, y_2](t_0) \neq 0, \exists t_0 \in I$면 $y_1, y_2$는 선형독립이다.
증명: $y_2 = cy_1$이라고 하자. 론스키안이 항상 0 나오는걸 본다. 끝.
Q. 야 구간 내에 한 점에서 론스키안이 0인 걸 내가 봤다. 그럼 y1 y2는 무조건 종속이냐?
X. $y_1 = t, y_2 = t^2$. $W[](0)$ 구하면 0나오는데 종속아님
근데 또 $y_1$이랑 $y_2$가 같은 동차미방의 해면 참이 됨. 해 조건 없이 일반적인 경우에서 저것만으로 뭘 판별하긴 애매한듯.
수학