수학

[미분방정식] 상수 계수 Linear Homogeneous DE와 Characteristic Equation

2nd order의 경우를 갖고 따져보자. $$Ly = ay'' + by' + cy = 0, (a \neq 0, a, b, c \in \mathbb{R})$$ 얘의 해가 $y = e^{rt}$의 꼴이라고 하면 방정식에 대입했을 때 $$ar^2e^{rt} + bre^{rt} + ce^{rt} = 0$$ $$(ar^2 + br + c)e^{rt} = 0$$ 이 된다. 이걸 만족하는 $r$을 찾기 위해서는 $ar^2 + br + c = 0$을 풀면 된다. $e^{rt}$는 0이 될 수 없기 때문에... 아무튼 여기서 이 방정식 $ar^2 + br + c = 0$을 Characteristic Equation이라고 부르는 모양이다. 우리가 잘 아는 근의 공식을 이용해 $r$을 구할 수 있다. $$r = \frac..

[미분방정식] Wronskian

미분방정식및연습 시간에 2계동차선형미방의 해와 관련해서 어떤 해 여럿이 있으면 그 둘의 선형결합도 해가 된다는 것을 배웠다. 이걸 중첩 원리(Superposition Principle)랜다. 대충 $y$와 방정식 $y'' + p(t)y' + q(t)y = 0, t \in I$의 $y$랑 그 미분 항들을 매칭시키는 선형 연산자 $L$을 갖고 방정식의 두 해 $y_1, y_2$로 $L[c_1y_1+c_2y_2] = c_1L[y_1] + c_2L[y_2] = 0 + 0 = 0$해서 증명했다. 근데 심지어는 저 둘의 선형결합이 방정식의 모든 해를 표현할 수도 있댄다. 어떤 때에? Wronskian $W[y_1, y_2](t_0)$이 어떤 $t_0 \in I$에서 0이 아닐 때에! 론스키안은 $\displayst..